更新契約書など契約関係書類が全部揃わないと裁判は起こせないのでしょうか？

そんなことはありません。
できれば全ての契約書類が揃っていることが望ましいですが、長期に渡って更新を重ねてきた契約で、途中の更新契約書が何通か手元になかったとしても、裁判を起こすことは可能です。